Decimales y didáctica
En el siglo XVI d.C., los matemáticos europeos comenzaron a notar la facilidad con la cual se efectuaban los cálculos con números fraccionarios cuyos denominadores fueran potencias de 10. Por ejemplo:
10.000 como denominador común y se obtiene
 | como |  |
|---|---|---|
 | como |  |
 | como |  |
Naturalmente, para sumar las fracciones anteriores basta con tomar
Un ingeniero y matemático holandés llamado Simón Stevin inventó en el S. XVI un método para hacer cálculos con fracciones decimales sin usar el denominador. Por ejemplo, escribía
Al sumar estos números, obtenía 
Aunque su método no llegó a usarse mucho, su idea fue tomada por un gran matemático escocés, Napier, quien desarrolló, a partir de la proposición de Stevin, otra manera de escribir las fracciones decimales.
Al principio, colocó una línea debajo de los dígitos del numerador, de esta manera:
Finalmente, ya en 1617, Napier propuso el uso de una coma o un punto para separar la parte entera de la parte decimal:
Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir los que hoy se llaman números decimales.
Simón Stevin (1548 – 1620)
En la historia de la Matemática , Stevin es conocido como uno de los primeros expositores de la teoría de las fracciones decimales. En la historia de la Física se le conoce por sus contribuciones a la Estática e Hidrostática. Entre los eruditos de su tiempo fue conocido por sus trabajos sobre fortificación e ingeniería militar. Sus contemporáneos le conocieron por la invención de un carruaje con velas que, cargado con veintiocho personas, se movía a una velocidad superior a la de un caballo al galope.
Números decimales
Durante los siglos XVI y XVII, los procedimientos operacionales con números reales se perfeccionaron y extendieron. En Bélgica encontramos a Stevin defendiendo en " La Disme " (Aritmética decimal, 1585) el uso de decimales, en vez de la notación sexagesimal, para escribir y operar con fracciones. Otros -Christoff Rudolff (1500-1545), Vieta, y el árabe al-Kashî (1436)- los habían usado previamente. Escribe 5912 como 5 0 9 1 1 2 2 3, o como 5, 9' 1'' 2'''. Escribía Stevin dentro de un círculo, encima o a continuación de cada dígito, la potencia de 10 que debería llevar como divisor. Así, por ejemplo el valor aproximado aparecería escrito como 3 0 1 1 4 2 1 3 6 4 o 3 1 4 1 6 y en lugar de las palabras "décima", "centésima", etc., utilizaba Stevin "primo", "segundo", etc., de la misma manera que designamos nosotros aún hoy los diferentes lugares en las fracciones sexagesimales.
Décimas, centésimas, milésimas
En el opúsculo De Thiende (1585), escrito en lengua vernácula y dedicado a los astrónomos, agrimensores, tapiceros, vinateros, geómetras, banqueros y todo tipo de mercaderes, Stevin introdujo el uso sistemático de las fracciones decimales en las matemáticas europeas. Dicho tipo de fracciones ya se habían utilizado por los matemáticos chinos (s. XIII), por el rabino Immanuel Bonfils de Tarascón (ca. 1350), por el matemático alemán Christoff Rudolff (1530), y por el francés F. Viète en 1579. Además, en dicho folleto, Stevin planteó la unificación del sistema de pesas y medidas mediante un método basado en la división decimal de la unidad.
Stevin tenía evidentemente una idea correcta de las fracciones decimales, pero su notación para los diferentes lugares, inspirada por la de Bombelli, era más adecuada para el álgebra que para la aritmética. Pero por fortuna la notación moderna no iba a tardar ya en llegar. En la traducción al inglés de la Descriptio de Napier, en 1616, las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un punto decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. En su Rhabdologia de 1617, en la que describe la manera de calcular utilizando sus varillas, se refiere Napiere a la aritmética decimal de Stevin y propone un punto o una coma como signo de separación decimal. En la Constructio de Napier de 1619 se consagró el uso del punto decimal en Inglaterra, pero en muchos otros países europeos se continúa utilizando hoy la coma decimal. Vieta perfeccionó y extendió los métodos de efectuar raíces cuadradas y cúbicas. En aritmética Vieta formuló una decidida defensa del uso de las fracciones decimales en vez de las sexagesimales. Así, escribía en una de sus primeras obras, el Canon-mathematicus de 1579:
"Los sexagesimales y los sesentas han de ser usados raramente o nunca en la matemática, mientras que los milésimos y los miles, los centésimos y los cientos, los décimos y los dieces, y las progresiones semejantes, ascendentes y descendentes, deben usarse frecuentemente y aún exclusivamente."
El uso del punto para separar la parte entera de la parte decimal de un número se atribuye o bien a G. A. Magini (1555-1617), en su "De planis triangulis" de 1592, o bien a Christoph Clavius (1537-1612), en una tabla de senos de 1593. Sin embargo, el punto decimal no se popularizó hasta que lo usó Napier más de 20 años después.
El uso de fracciones continuas en aritmética es otro acontecimiento de la época. Podemos rebatir que los hindús -Äryabhata en particular- hubieran usado fracciones continuas para resolver ecuaciones lineales indeterminadas. Bombelli, en su "Algebra" (1572), fue el primero que las usó aproximando raíces cuadradas.
En el siglo XVI d.C., los matemáticos europeos comenzaron a notar la facilidad con la cual se efectuaban los cálculos con números fraccionarios cuyos denominadores fueran potencias de 10.
Finalmente, ya en 1617, Napier propuso el uso de una coma o un punto para separar la parte entera de la parte decimal:
Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir los que hoy se llaman números decimales. Sabiendo que el origen de la escritura de los números decimales está vinculado a la necesidad de facilitar los cálculos con fracciones decimales, es bueno notar que luego se encontró la forma de expresar cualquier fracción como un número decimal.
La mayor facilidad para los cálculos radica en que sólo se efectúan las operaciones con números enteros y no ya con fracciones, pues al escribir, por ejemplo,
en la forma decimal, se obtiene (2,5)(0,03) y en realidad esta operación requiere sólo que se multipliquen los números enteros 25x3=75 y luego se le coloca la coma de manera que se obtengan 3 espacios ocupados a la derecha de la coma, y se escribe entonces
en la forma decimal, se obtiene (2,5)(0,03) y en realidad esta operación requiere sólo que se multipliquen los números enteros 25x3=75 y luego se le coloca la coma de manera que se obtengan 3 espacios ocupados a la derecha de la coma, y se escribe entonces 
Es importante saber que, en los tiempos en que esta idea surgió, no existían, por supuesto, calculadoras que ayudaran a los científicos en la realización de cálculos complicados. En ciertas áreas, como en la astronomía, por ejemplo, los cálculos complicados requerían de mucha precisión.
Los números decimales se usaron finalmente, no sólo para representar fracciones decimales, sino cualquier fracción en general.
Notación decimal
Un número decimal consta de dos partes: la parte entera (situada a la izquierda de la coma) y la parte decimal (situada a la derecha de la coma).
Un número natural es también un número decimal en el cual su parte decimal es cero.
Existe una relación entre los números decimales y las fracciones ya que estas últimas se pueden expresar mediante los primeros aunque no existe la misma relación al contrario porque en situaciones de medida no tienen sentido los números con infinitas cifras decimales puesto que si medimos físicamente el resultado es un número decimal exacto.
Paso de fracción a número decimal
Veamos los tres casos en los que se da la equivalencia entre número decimal y fracción, es decir, en los casos en los que podemos pasar de uno a otro.
- Número decimal exacto
- Número decimal periódico puro
- Número decimal periódico mixto
Para pasar de una fracción a un número decimal sólo hay que dividir el numerador entre el denominador. Si la división es exacta obtendremos un número entero que podemos expresar como número decimal exacto.
Pero, si la división no es exacta, continuaremos dividiendo hasta que se de una de las dos circunstancias:
- Conseguimos un resto 0. Hemos acabado, obtenemos un número decimal exacto
- Empezamos a ver que los restos obtenidos, y por tanto las cifras del cociente se repiten, entonces estamos ante un nº decimal periódico. Y de estos existen dos tipos: periódico puro (en el cociente se repite un grupo de cifras indefinidamente a partir de la coma) o periódico mixto (en el cociente hay un grupo de cifras que no se repite, llamado anteperiodo, seguido del grupo de cifras que se repite, llamado periodo)
¡¡¡ TRUCO !!!
Se puede saber que tipo de expresión decimal tiene una fracción sin necesidad de hacer la división, para ello basta con simplificar la fracción y fijarnos en la descomposición del denominador en factores primos. Nos pueden surgir tres casos ( como tres tipos de decimales tenemos):
- Si el denominador sólo contiene factores que sean 2 ó 5, la fracción tiene una expresión decimal exacta.
- Si el denominador no contiene factores que sean 2 ó 5, la fracción tiene una expresión decimal periódica pura.
- Si el denominador contiene mezcla de factores que sean 2 ó 5 con factores distintos a éstos, la fracción tiene una expresión decimal periódica mixta
Paso de número decimal a fracción
Como es lógico sólo pasaremos de número decimal a fracción cuando sea posible, es decir, cuando sean decimales exactos o periódicos ya que no podremos realizar este paso con los números irracionales ( aquellos números cuya representación decimal tiene infinitas cifras decimales, por ejemplo, el nº Pi = 3,14159265...)
Para realizar el paso de nº decimal a fracción hemos de distinguir de nuevo entre tres casos:
- Número decimal exacto: pondremos en el numerador la expresión decimal del número sin coma y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Pongamos un ejemplo:
- Número decimal periódico puro: pondremos en el numerador la expresión decimal sin coma y le retaremos todo lo que esté antes de la rayita de periodo y como denominador tantos un 9 por cada número que está en el período. Pongamos un ejemplo:
- Número decimal periódico mixto: como en el caso anterior , en el numerador la expresión decimal sin coma y le retaremos todo lo que esté antes de la rayita de periodo y como denominador colocaremos tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Su ejemplo:
Operaciones con números decimales:
- SUMA DE NÚMEROS DECIMALES:Para sumar dos o más números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas; después se suman como si fuesen números naturales y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.
Ejemplo:
- RESTA DE NÚMEROS DECIMALES: Para restar números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas. Si los números no tienen el mismo número de cifras decimales, se completan con ceros las cifras que faltan. Después, se restan como si fuesen números naturales y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.
- MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS: Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad.
- MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES: Para multiplicar dos números decimales se efectúa la operación como si fuesen números naturales y en el producto se separan tantas cifras decimales como cifras decimales tengan entre los dos factores.
- DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS: Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad.
24,2 : 100 = 0,242
24,2 : 1.000 = 0,0242
Aquí os dejo unos ejercicios para que repaséis lo dado en este tema...
1. Paso de fracción a decimal
2. Paso de decimal a fracción
3. Operaciones con decimales
- DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UNO NATURAL: Para dividir un número decimal por un número natural se hace la división como si fuesen números naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal.
- DIVISIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR UNO DECIMAL: Para dividir un número natural por un número decimal se suprime la coma del divisor y a la derecha del dividendo se ponen tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Después se hace la división como si fuesen números naturales.
- DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES: Para dividir dos números decimales se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor; si es necesario, se añaden ceros.
Uso cotidiano de los decimales
¿En qué situaciones podemos utilizar las operaciones de números decimales?
A diario nos encontramos con situaciones en las cuales utilizamos los números decimales, aquí os dejo unos ejemplos:
- Vas a una tienda y quieres comprar 1,5 kg de pan.. y cuesta 2.50 euros el kilo.. entonces pagas 5,00 euros y de cambio te devuelve es de 3,75 euros
- Haces una estantería para colocar nuevos libros que compraste hace unos días. Tú quieres que la estantería sea de 0.75 m de largo x 0,20 m de ancho y las maderas que usaras para hacerlo son de 1,50 m de largo y 0,40 m de ancho por lo que las cortas y tienes 2 estanterías de la misma medida que querías y no te sobro nada.
- Tienes una banda de rock y lanzas tu primer disco. En 1 mes has vendido 1,7 millones de unidades y en 6 meses lograste 4,2 millones. Al cabo de 1 año las ventas llegaron a 9,3 millones de discos. ¡ Tu banda es la mejor !
- Cambiaste de trabajo y ahora vendes arroz X. En un año vendiste 15,2 toneladas. Dices que es poco y haces publicidad para mejorar las ventas. Al año siguiente has vendido 30,4 toneladas! de las cuales 20,9 has enviado al exterior y el resto que son 9.5 toneladas las has vendido en el interior de tu país...
Aquí os dejo unos ejercicios para que repaséis lo dado en este tema...
1. Paso de fracción a decimal
3. Operaciones con decimales
Calcula las
siguientes sumas de números decimales.
a) 12,435 + 142,36 + 8,7 =
b) 32,46 + 7,182 + 146,8 =
c) 243,18 + 16,5 + 153,216 =
d) 325,9 + 8,75 + 37,296 =
Calcula las
siguientes restas de números decimales.
a) 4,3 - 2,84 =
b) 52,61 - 13,72=
c) 49,8 - 31,96 =
d) 123,7 - 98,49 =
e) 214,8 - 96,72 =
f) 416,7 - 392,18 =
Calcula
a) 3,25x 10=
b) 3,25 x 100 =
c) 3,25 x 1.000 =
d) 3,25 x 10.000 =
e) 3,25 x 100.000 =
f) 3,25 x 1.000.000 =
g) 4,1 x 10 =
h) 4,1 x 100 =
i) 4,1 x 1.000 =
j) 4,1 x 10.000 =
k) 4,1 x 100.000 =
l) 4,1 x 1.000.000 =
Calcula las
siguientes multiplicaciones de números decimales
a) 32,43 x 2,4 =
b) 4,131 x 3,2 =
c) 431,4 x 3,5 =
d) 25,49 x 31,3 =
e) 289,1 x 2,13 =
f) 49,63 x 2,14 =
Calcula.
a) (4,213 + 21,36) x 4,21=
b) (32,46 - 18,213) x 21,5=
Calcula.
a) 81,2 : 10 =
b) 81,2 : 100 =
c) 81,2 : 1.000 =
d) 81,2 : 10.000 =
e) 81,2 : 1 00.000 =
f) 81,2 : 1.000.000 =
g) 5,3 : 10 =
h) 5,3 : 100 =
i) 5,3 : 1.000 =
j) 5,3 : 10.000 =
k) 5,3 : 100.000 =
l) 5,3 : 1.000.000 =
Calcula.
a) (4,32 + 71,6 + 18,1) : 10
b) (3,71 + 81,6 + 18,214 ) : 100
c) (321,2 - 216,48) : 1.000
d) (482,14
- 18,186) : 10.000
Calcula las
siguientes divisiones.
a) 4,326 : 3 =
b) 32,156 : 4 =
c) 267,05 : 5 =
d) 39,120 : 6 =
e) 412,16 : 7 =
f) 52,632 : 8 =
Calcula.
(4,32 + 18,2 + 36,49) : 3
(731,25 - 49,138) : 4
Calcula las
siguientes divisiones
a)
585 : 1,3
b)
7.749 : 1,23
c)
2.875 : 2,3
d)
5.490 : 1,22
e)
12.936 : 2,31
f)
25.442 : 2,23
Calcula.
(427,18 + 381,23 + 191,59) : 2,5
(1.214,28 + 672,14 + 113,58) : 1,25
Calcula las
siguientes divisiones.
a) 12,25 : 0,7
b) 29,095 : 2,3
c) 799,46 : 1,42
d) 958,5 : 21,3
e) 20,88 : 2,4
f) 4,340 : 3,5
Ejercicios de repaso
Juegos con decimales
1. Realiza las siguientes sumas y colorea
2. Realiza las siguientes operaciones para llegar a la meta
Juegos iteractvos
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