Proporcionalidad y Porcentajes y su Didáctica
Historia:
Por los años 585 a. de J.C., el matemático griego Thales de Mileto consiguió, de una manera ingeniosa, medir la altura de la Gran Pirámide de Keops.
El suceso ha llegado hasta nosotros a través de diferentes fuentes de la Antigüedad como el historiador romano Plinio (s. I dC) y Diógenes Laercio, historiador griego de la filosofía que vivió entre los siglos II y III dC.
Para hacerlo, Thales se valió, únicamente de un bastón, una cuerda y un ayudante. Con tan sencillo utillaje calculó que la sombra proyectada por su altura, guardaría una proporción similar a la sombra de la propia pirámide con respecto a la altura de ésta.
El suceso ha llegado hasta nosotros a través de diferentes fuentes de la Antigüedad como el historiador romano Plinio (s. I dC) y Diógenes Laercio, historiador griego de la filosofía que vivió entre los siglos II y III dC.
Para hacerlo, Thales se valió, únicamente de un bastón, una cuerda y un ayudante. Con tan sencillo utillaje calculó que la sombra proyectada por su altura, guardaría una proporción similar a la sombra de la propia pirámide con respecto a la altura de ésta.
"La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya.". De ahí dedujo: "En el mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura”.El hecho pudo ocurrir probablemente así:
Al alba, el ayudante se fue hacia el monumento y se sentó bajo su sombra inmensa. Thales dibujó en la arena un círculo con un radio igual a su propia estatura, se situó en el centro y se puso de pie bien derecho. Luego fijó los ojos en el borde extremo de su sombra. Cuando la sombra tocó la circunferencia, es decir, cuando la longitud de la sombra fue igual a su estatura, dio un grito convenido. El ayudante, atento, plantó un palo inmediatamente en el lugar donde estaba el extremo de la sombra de la pirámide. Thales corrió hacia el palo. Con la ayuda de una cuerda bien tensa, midieron la distancia que separaba el palo de la base de la pirámide y supieron la altura de la pirámide"
Este breve pasaje de la historia de la Geometría nos hace ver la importancia de la proporcionalidad no sólo como medio para resolver problemas de carácter abstracto, sino como un instrumento poderoso para resolver problemas de la vida cotidiana.
Proporcionalidad
En la vida corriente utilizamos el término PROPORCIÓN con distintos sentidos:
Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: "este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado"
- Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: ÉXITO y TRABAJO.
- También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: " proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante " (el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50 Tm. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir con ella un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla).
También se cometen errores:
- Hace años se estudió la reacción de un elefante macho al LSD (una droga). Los científicos calcularon la dosis que se debía administrar a partir de la cantidad que pone a un gato en estado furioso. Esta proporción fue trágica para el elefante pues inmediatamente empezó a correr y a trompetear, tuvo convulsiones y expiró.
En matemáticas esta palabra tiene un significado más restringido que trataremos de precisar:Consideremos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintar y la pintura empleada.
m2 de valla a pintar
Litros de pintura empleados
Ejemplo 2Desde que un conductor ve un obstáculo, reacciona, pisa el freno y el coche realmente se detiene, se recorre una distancia que depende de la velocidad:
Velocidad que lleva (Km/h)
Distancia total de detención (m)
Ejemplo 3Observa el dibujo y construye una tabla que relacione la altura de cada rectángulo con su base.Ejemplo 4El precio de un aparcamiento es:
Tiempo
Precio
a doble .............. doble,
a mitad.............. mitad,a triple ............. triple,a un tercio.....un tercio,etc .........................
decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales."La superficie de valla a pintar es directamente proporcional al volumen de litros de pintura"."Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de las alturas".En el ejemplo 4 es conveniente observar que si sólo tomamos valores enteros puede parecer que existe proporcionalidad. No es así, como ponen de manifiesto los siguientes valores:
1. RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICA
Ø Razón entre dos números
Razón entre dos números a y b es el cociente
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Por ejemplo la razón entre 10 y 2 es 5, ya que 
Y la razón entre los números 0.15 y 0.3 es 
Ø Proporción numérica
Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Es decir
Se lee “a es a b como c es a d”
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Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.
Es decir 
En la proporción 
hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.
hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.
La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.
Así en la proporción anterior 
se cumple que el producto de los extremos nos da 2x20=40 y el producto de los medios nos da 5x8=40
se cumple que el producto de los extremos nos da 2x20=40 y el producto de los medios nos da 5x8=40
EN GENERAL
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2.MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera correspondedoble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.
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Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:
son directamente proporcionales si se cumple que:
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Ejemplo
Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de patatas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos se podrán hacer?
Número de sacos
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1
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2
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3
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...
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26
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...
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Peso en kg
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20
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40
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60
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...
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520
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...
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Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que 
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.
3.MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde lamitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes soninversamente proporcionales.
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Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:
son inversamente proporcionales si se verifica que:
a.a’ = b.b’ = c.c’ = ...
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Ejemplo
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes soninversamente proporcionales.
Formamos la tabla:
Hombres
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3
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6
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9
|
...
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18
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Días
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24
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12
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8
|
...
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?
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Vemos que los productos 3.24=6.12=9.8=72
Por tanto 18.x=72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
4.PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES
Ø Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad
Ejemplo 1: Proporcionalidad directa
Cuatro chicos en una acampada de 10 días han gastado en comer 25000 ptas. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante una acampada de 15 días?
§ Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son directamente proporcionales.
§ El mismo número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado sondirectamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la cantidad desconocida, gasto.
SABEMOS QUE
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REDUCCIÓN A LA UNIDAD
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BÚSQUEDA DEL RESULTADO
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Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa
15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?
§ Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.
§ Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.
SABEMOS QUE
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REDUCCIÓN A LA UNIDAD
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BÚSQUEDA DEL RESULTADO
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Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33.75 días.
¿CÓMO RESOLVER PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD EN PRIMARIA?
Tenemos que tener en cuenta que los ejercicios que debemos resolver sobre este tema son para alumnos de primaria y por tanto hay determinadas operaciones que los niñ@s aún no utilizan como:
- Reglas de tres
- Ecuaciones
Para que podáis investigar un poco os dejo algunos vídeos con métodos para poder resolver operaciones con proporciones sin utilizar directamente las reglas de tres.
Porcentajes
En las matemáticas, un porcentaje es un número o proporción como una fracción de 100. A menudo se denota con el signo de porcentaje "%" o la abreviatura "pct".
Por ejemplo, 45% es igual a 45/100, o 0,45. Un sistema relacionado con un número que expresa como una fracción de 1000 utiliza los términos "por mil" y "amillaramiento". Los porcentajes se utilizan para expresar cómo una cantidad grande/pequeña es, con relación a otra cantidad. La primera cantidad por lo general representa una parte de, o un cambio en, la segunda cantidad, que debe ser mayor que cero. Por ejemplo, un aumento de $ 0,15 en el precio de $ 2.50 es un aumento por una fracción de 0.15/2.50 = 0.06 - Expresado en porcentaje, por lo tanto, este es un aumento del 6%. La palabra "por ciento" significa "fuera de 100 'o' por 100 '.
Aunque los porcentajes se utilizan generalmente para expresar números entre cero y uno, cualquier relación puede ser expresada como un porcentaje. Por ejemplo, 111% es 1,11 y -0,35% es -0,0035 - Aunque esto es técnicamente inexacta como por la definición de por ciento, una redacción alternativa en términos de un cambio en un valor observado es "un aumento/disminución en un factor de. .. ""
Historia
En la Roma antigua, mucho antes de la existencia del sistema decimal, los cálculos se hacen a menudo en las fracciones que eran múltiplos de 1/100. Por ejemplo Augusto estableció un impuesto de 1/100 de los bienes vendidos en una subasta denominada centesima rerum venalium. Computación con estas fracciones fueron similares a los porcentajes de computación. Como denominaciones de dinero creció en la Edad Media, los cálculos con un denominador de 100 vuelven más estándar y de finales del siglo 15 hasta el siglo 16 se convirtió en común para los textos de aritmética a incluir dichos cálculos. Muchos de estos textos aplicar estos métodos a pérdidas y ganancias, tasas de interés, y la regla de tres. En el siglo 17 era estándar para citar las tasas de interés en centésimas.
Signo de porcentaje
La palabra se deriva del latín per centum que significa "por cien". El signo de porcentaje evolucionó por la contracción gradual de la frase por cento. El "per" fue abreviado a menudo como "p." y, finalmente, desaparecido por completo. El "cento" se contrató a dos círculos separados por una línea horizontal de la que deriva la moderna "%".
Cálculos
El valor de porcentaje se calcula multiplicando el valor numérico de la relación por 100. Por ejemplo, para encontrar el porcentaje de 50 manzanas de 1,250 manzanas, primero calcular la proporción 50/1250 = 0,04, y luego se multiplica por 100 para obtener el 4%. El valor del porcentaje también se puede encontrar multiplicando primero, por lo que en este ejemplo, el 50 se multiplicará por 100 para obtener 5.000, y este resultado se dividiría en 1250 para dar 4%.
Para calcular un porcentaje de un porcentaje, convertir ambos porcentajes a fracciones de 100, o a decimales, y se multiplican. Por ejemplo, 50% de 40% es:
0,50 = 0,40 = 0,20 = 20/100 = 20%.
No es correcto para dividir por 100 y utilizar el signo de porcentaje en el mismo tiempo./100 = 0,0025. Un término como% también sería incorrecto, esto se lee como porcentaje incluso si la intención era decir 100%.)
La manera más fácil de calcular adición en porcentaje:
Por ejemplo, si una tienda de departamento tiene un "10% 5% de descuento," el descuento total no es 15% pero
Siempre que hablamos de un porcentaje, es importante precisar lo que es relativo, es decir, lo que es el total que corresponde al 100%. El problema siguiente ilustra este punto.
En cierta universidad 60% de los estudiantes son mujeres, y el 10% de los estudiantes son mayores de informática. Si el 5% de las estudiantes son mayores de informática, ¿qué porcentaje de mayores de informática son mujeres?
Se nos pide calcular la proporción de mujeres mayores de informática para todas las carreras de ciencias de la computación. Sabemos que el 60% de los estudiantes son mujeres, y entre ellos 5% son mayores de informática, por lo que concluimos que = 3/100 o 3% de los estudiantes son mujeres mayores de informática. Dividiendo esta por el 10% de todos los estudiantes que son carreras de informática, se llega a la respuesta: 3%/10% = 30/100 o 30% de todas las carreras de ciencias de la computación son mujeres.
Este ejemplo está estrechamente relacionado con el concepto de probabilidad condicional.
Porcentaje de aumento y disminución
A veces, debido al uso inconsistente, no siempre está claro por el contexto que un porcentaje es relativo a. Cuando se habla de un "10% de aumento" o un "10% caída" en una cantidad, la interpretación usual es que se trata en relación con el valor inicial de dicha cantidad. Por ejemplo, si un artículo tiene un precio inicial de $ 200 y el precio sube 10%, el nuevo precio será de $ 220 - Tenga en cuenta que el precio final es de 110% del precio inicial.
Algunos otros ejemplos de cambios porcentuales:
- Un aumento del 100% en cantidad significa que el monto final es de 200% de la cantidad inicial, es decir, la cantidad se ha duplicado.
- Un aumento del 800% significa que el monto final es 9 veces el original.
- Una disminución de 60% significa que la cantidad final es 40% de la original.
- Una disminución del 100% significa que el monto final es cero.
En general, un cambio de por ciento en una cantidad resulta en una cantidad final que es por ciento de la cantidad original.
Es importante entender que los porcentajes de cambio, ya que se han discutido aquí, no poner en la forma habitual, si se aplican de forma secuencial. Por ejemplo, si el aumento del 10% en el precio considerado antes es seguido por una disminución del 10% en el precio, el precio final será de $ 198, no el precio original de $ 200. La razón para la aparente discrepancia es que los dos cambios por ciento se miden con relación a diferentes cantidades, y por lo tanto no se "cancelan".
En general, si un aumento de por ciento es seguido por una disminución de por ciento, y la cantidad inicial fue, la cantidad final es, por lo que el cambio neto es una disminución global por ciento de por ciento. Por lo tanto, en el ejemplo anterior, después de un aumento y disminución de por ciento, la cantidad final, 198 dólares, fue de 10% de 10%, o 1%, menos de la cantidad inicial de 200 dólares.
Esto se puede ampliar para un caso en el que no tiene el mismo porcentaje de cambio. Si el cambio inicial por ciento y es el segundo porcentaje de cambio es, y la cantidad inicial era, entonces la cantidad final. Para cambiar el ejemplo anterior, después de un aumento de y disminución de por ciento, la cantidad final, $ 209, es un 4,5% más que el monto inicial de $ 200.
Otro error común es pensar que el trabajo 50% más rápido significa tener 50% menos de tiempo para completar la tarea. En esta cuenta, 100% más rápido significa el doble de la velocidad, por lo que la mitad del tiempo. Por ejemplo, si se viajaba a 50 mph, 100% más rápido sería 100 mph. Y 50% mayor velocidad significa 33,33% menos de tiempo para viajar a la misma distancia.
En el caso de las tasas de interés, es una práctica común para indicar el porcentaje de cambio diferente. Si una tasa de interés se eleva de 10% a 15%, por ejemplo, es típico que decir, "El tipo de interés se incrementó en 5%" - en lugar de en un 50%, lo que sería correcta cuando se mide como un porcentaje de la tasa inicial . Esta ambigüedad se puede evitar mediante el uso de los términos "puntos porcentuales". En el ejemplo anterior, la tasa de interés "aumentó en 5 puntos porcentuales" de 10% a 15%. Si la tasa cae entonces por 5 puntos porcentuales, se volverá a la velocidad inicial de 10%, como se esperaba.
Ejercicios de Proporcionalidad y Porcentajes
Problemas de Proporcionalidad y Porcentajes
Os dejo unos problemas de proporcionalidad que nos puso mi profesora en la carrera para que practiquéis.
1.
a. Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el
depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el coche?
b. Una máquina hace 300 tornillos en 4 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará
para hacer 900 tornillos?
2. Con 200 kilogramos de harina se elaboran 250 kilogramos de pan.
a. ¿Cuántos Kg. de harina se necesitan para hacer un pan de 2 Kg.?
b. ¿Cuántos panecillos de 150 gramos se podrán hacer con 500 Kg. de
harina?
3. Diez hombres hacen una obra en 45 días. ¿Cuántos hombres se necesitarán para
hacerla en 15 días? ¿Y en 90 días?.
4. Una piscina se llena en 15 horas con un grifo que arroja 120 litros de agua al
minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar la piscina otro grifo que arroja 240
litros por minuto?
5. Dieciocho perros salchichas comen lo mismo que quince pastores alemanes y
cinco pastores alemanes comen tanto como nueve chihuahuas. ¿Cuántos
chihuahuas comen lo mismo que ocho perros salchichas?
6. Un grifo hace subir el nivel de un depósito 12,6 cm en 3 horas. ¿Cuánto subirá el
nivel en 5 horas y media?
7. Según una encuesta reciente, de cada 35 españoles 14 no han leído El Quijote.
a. ¿Qué porcentaje de españoles ha leído El Quijote?
b. En mi barrio hay 311 personas. Según esta encuesta, ¿Cuántas de ellas
han leído El Quijote?
8. En un teatro infantil, 5 de cada 40 personas son padres de familia. Si en total hay
95 padres de familia ¿Cuántas personas hay en el circo?
9.
a. He comprado un televisor que costaba 548 € y me han hecho una rebaja
del 15%. ¿Cuánto he tenido que pagar?
b. ¿Cuál era el precio de un ordenador que está rebajado un 18 % si me ha
costado 900 €?
10. A Juan le han puesto una multa por exceso de velocidad de 90 €. Transcurrido el
período voluntario de pago, ahora se le añade un 20 % de recargo. ¿Cuánto
tendrá que pagar?
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